检出概率(POD)评估：二项式分布法的原理与应用实践

在无损检测（NDT）领域，评估一项检测技术的有效性，核心在于量化其发现缺陷的能力。对于一个给定的缺陷，检测结果往往是二元的：要么“检出”（Hit），要么“漏检”（Miss）。这种非此即彼的特性，使得二项式分布（Binomial Distribution）成为描述和分析检出概率（Probability of Detection, POD）的理想数学工具。

二项式分布：描述检出事件的基础模型

设想我们对 N 个包含相同尺寸人工缺陷的试样进行检测。整个过程可以看作是 N 次独立的伯努利试验。检测过程中，实际检出的缺陷试样数量为 S，其取值范围为 0, 1, 2, …, N。

在单次检测中，我们假设存在一个“真实”的检出概率 P，与之对应的，漏检概率则为 q = 1 - P。那么，在 N 次试验中，恰好成功检出 n 次的概率 P(s=n) 可以由经典的二项式分布概率函数描述：

$$ P(s = n) = /frac{N!}{n!(N - n)!} P^{n}q^{N - n} $$

这个公式是构建POD曲线的基础。它精确地告诉我们，在已知的真实检出率 P 的前提下，观测到特定结果（检出n个）的可能性有多大。

在实际评估中，我们通常更关心检测能力是否达到某个阈值，即检出“至少 n 个”缺陷的概率。这需要对所有可能的大于等于 n 的结果进行概率求和：

$$ P(s /ge n) = /sum_{i=n}^{N} /frac{N!}{i!(N - i)!} P^{i}q^{N - i} $$

从试验数据反推检出能力：置信度的引入

理论模型固然完美，但在工程实践中，真实的检出概率 P 对我们而言是未知的。我们能掌握的，是试验获得的数据：总试样数 N 和成功检出数 S。我们的目标变成了：依据这组（N, S）数据，我们能以多大的把握（即置信度 G）来声称我们的检测能力（P）达到了某个最低水平？

这里，我们引入检出概率的置信下限 P₁ 的概念。它代表了我们在给定的置信度 G 下，能够担保的最低检出概率。当观测样本量不大（例如，试验次数不多于30次）时，精确的二项式分布模型尤为重要。P₁、G、N 和 S 之间的关系可以通过下式建立：

$$ 1 - G = /sum_{x=s}^{N} /frac{N!}{x!(N - x)!} P_{1}^{x}(1 - P_{1})^{N - x} $$

这个方程的逻辑是反向推断。它计算的是：假设真实的检出概率“仅仅”为 P₁，那么通过纯粹的运气，观测到我们现有结果（检出s个）或更好结果（检出大于s个）的概率之和。我们将这个概率值设定为一个很小的数，即 1-G（例如，5%）。如果实际观测到的结果发生了，我们就有 G（例如，95%）的信心认为，真实的检出概率 P 不会低于我们假设的 P₁。

举个例子，如果我们检测了 N=20 个试样，成功检出了 S=14 个。若设定置信度 G 为95%，通过求解上述方程，可以得到 P₁ 约等于0.49。这意味着，我们只有95%的把握说该检测系统的真实检出率至少为49%。这个数值对于许多高要求的应用场景而言，显然是不足的。

试验设计：如何确定所需的样本量？

上述分析引出了一个至关重要的工程问题：为了验证某个检测系统满足特定的性能指标（例如，P₁=90%，G=95%），我们究竟需要准备多少试样（N），并要求至少成功检出多少个（S）？

通过求解上述核心方程，我们可以为不同的(P₁, G)组合计算出所需的(N, S)整数配对。例如：

• 目标：90/95，即 P₁=0.9, G=0.95 将参数代入方程： $$ 0.05 = /sum_{x=s}^{N} /frac{N!}{x!(N - x)!} (0.9)^{x}(0.1)^{N - x} $$
• 目标：90/50，即 P₁=0.9, G=0.50 将参数代入方程： $$ 0.5 = /sum_{x=s}^{N} /frac{N!}{x!(N - x)!} (0.9)^{x}(0.1)^{N - x} $$

求解这些方程会得到一系列（N, S）的组合，如表1所示。

表1. 在特定检出概率下限(P₁)与置信度(G)组合下的试验次数(N)与成功次数(S)要求

从表1可以清晰地看到，要达到90/95这一严苛的工业标准，最少需要进行29次试验且全部成功。一旦出现任何一次漏检，所需的试验样本量就会急剧增加。例如，若想容忍1次失败，则需要将样本量扩大到46个，并成功检出45个。

如果一项研究需要评估覆盖4个不同缺陷尺寸区间的POD性能，并且每个区间都要求达到90/95的水平，那么仅含缺陷的试样就需要 4 × 29 = 116 个。

更进一步，一个严谨的POD评估试验，除了包含有缺陷试样，还必须混入数量相当的无缺陷试样。这样做有两个目的：一是建立检测系统的基本不确定性或误报率基线；二是创造一个更贴近真实的检测环境，避免检测人员因知道“每个样品都有缺陷”而产生的主观偏向，从而更客观地考验其注意力和检测技能。这种复杂的试验设计和大量的样本需求，对内部实验室的资源和专业能力构成了显著挑战。

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