岩石超声波衰减测量：从原理到品质因数Q值分析

在岩土工程、地球物理勘探和材料科学领域，我们通常不会将岩石视为理想的弹性体。从力学模型的角度审视，岩石更接近于一种粘弹性体。当声波在岩石这种复杂的介质中传播时，由于晶粒间的内摩擦、微裂隙的开合以及流体作用等微观机制，机械能不可避免地会转化为热能，导致波的振幅随传播距离增加而减小——这就是声波的衰减现象。精确测量这种衰减，对于评价岩石的完整性、预测其在应力下的行为以及进行地质构造解释都至关重要。

1. 声波衰减的物理根源与定量描述

要量化波在岩石中的能量损失，我们需要一个合适的物理模型。对于大多数岩石，其衰减特性可以由一个与波动频率成正比的粘弹性模型来近似描述。假设声波在均匀岩石介质中以平面波形式传播，其波动方程的解可以表达为：

A = G * e^-αx * e^{jω(t - x/v)}

这个公式清晰地揭示了衰减的核心。其中：

• A 是波在传播距离 x 处的振幅。
• G 是一个与初始条件相关的常数。
• e⁻ᵃˣ 是关键的衰减项，它表明振幅随距离 x 呈指数规律下降。
• α 便是描述这种衰减快慢的物理量——衰减系数。
• ω 是角频率，v 是波的传播速度。

衰减系数 α 与材料的内在耗损特性直接相关，可以通过损耗角正切 tanδ 来定义，这与电介质理论中的损耗角概念相似：

α = (ω / 2v) * tanδ

tanδ 成为了一个衡量波能量损耗大小的内在尺度。

然而，为了在不同材料和不同频率下进行更标准化的比较，工程和科研领域引入了一个更为普适且无量纲的参数——声波衰减品质因数 Q。Q值的物理意义非常直观：

Q⁻¹ = ΔW / (2πW) = tanδ

它代表在一个振动周期内，材料耗散的能量 ΔW 与系统存储的最大弹性能 W 的比值（乘以一个2π的比例因子）。高Q值意味着材料的能量耗散极小，声波可以传播很远（如金属）；而低Q值则表示能量耗散显著，声波衰减很快（如疏松的沉积岩）。Q值的美妙之处在于它通常与具体的衰减机制无关，提供了一个宏观的、统一的评价标准。

通过推导，品质因数Q与衰减系数α、波速v和频率f之间存在如下关系：

Q⁻¹ = αv / (πf)

这个关系式构成了我们后续实验测量的理论基石。

2. 核心测量方法：频谱比法

如何精确地测得岩石的Q值？这需要一套巧妙的实验设计来排除测量系统自身的干扰。我们借鉴了托克瑟茨（Toksöz）等人提出的脉冲传播频谱比法，并对其进行了优化。

设想一个完整的声波传播路径，最终接收到的信号频谱 A(f) 是由多个环节共同决定的：声源的发射谱 S(f)、岩石试件自身的传递函数 H(f) 以及接收仪器的响应谱 I(f)。它们的关系可以表示为：

A(f) = S(f) * H(f) * I(f)

其中，试件的传递函数 H(f) 包含了我们最关心的衰减信息 α(f) 和相位信息：

H(f) = G(x) * e^-α(f)x * e^{j(2πft - kx)}

这里的 G(x) 是几何衰减因子，k 是波数。

直接从 A(f) 中分离出 H(f) 是困难的，因为 S(f) 和 I(f) 通常是未知且复杂的。频谱比法的精髓在于引入一个参照物。我们选用一个与岩石试件具有完全相同几何形状和尺寸，但声学衰减极小（即Q值极高）的标准铝试件作为参照。

实验数据表明，在相当宽的频带内（例如0.1-1.0MHz），岩石的衰减系数 α 与频率 f 呈线性关系：

α(f) = γ * f

这里的 γ 是一个与Q值相关的常数，即 Q = π / (γv)。这意味着Q值本身与频率无关，这极大简化了分析。

现在，我们分别测量声波穿过岩石试件和铝试件后的信号。对于铝试件，其接收谱为 A₁(f)：

A₁(f) = S(f) * G₁(x) * e^-α₁(f)x * e^{j(2πft - k₁x)} * I(f)

将两个接收信号的振幅谱做对数比，神奇的事情发生了：

ln[ A₁(f) / A(f) ] = -(γ₁ - γ)xf + ln[ G₁(x) / G(x) ]

由于声源 S(f) 和接收仪器 I(f) 在两次测量中是完全相同的，它们在比值运算中被完美消除。上式是一个关于频率 f 的线性方程。其斜率就是 -(γ₁ - γ)x。

我们选用的标准铝试件Q值极高（通常大于10000），可以认为其衰减接近于零，即 γ₁ ≈ 0。因此，通过测量频谱比曲线的斜率，就可以直接求出岩石的 γ 值。如果同时测得了波速 v，岩石的品质因数 Q 值便迎刃而解。这种方法的巧妙之处在于，几何扩散因子 G(x) 的差异仅影响曲线的截距，完全不影响斜率，从而不干扰Q值的计算。

要获取高精度的γ值，就需要确保实验条件的稳定性和数据处理的准确性，这正是专业检测实验室的核心价值所在。

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3. 实验优化与应用拓展

3.1 岩石试件二次截断法

为了进一步提高测量的灵活性和精度，我们还设计了一种“二次截断法”（如图1所示），该方法甚至可以省去标准试件，直接测定衰减系数和传递函数。