耐火材料颗粒级配的密码：从Andreassen到Dinger-Funk模型的演进

在不定形耐火材料的研发与生产中，如何将不同尺寸的颗粒骨料优化组合，以获得最致密的堆积结构，是决定最终产品性能的核心议题。这不仅仅是简单的空间填充游戏，更是一门关乎材料孔隙率、强度和抗侵蚀性的精密科学。颗粒的级配理论，正是解开这一密码的钥匙。

从宏观上看，颗粒的堆积方式可以分为两大流派：不连续（或称间断）堆积与连续堆积。

• 不连续粒度堆积，顾名思义，采用的是几组粒径范围很窄、彼此间断的颗粒。其核心思想源于Fumas的早期理论，设想了一种近乎完美的填充模式：中等颗粒恰好填满粗颗粒形成的空隙，而细颗粒又恰好填入由粗、中颗粒堆积留下的更小空隙中。通过这种层层递进的填充，理论上可以将气孔率降至极低。这种模型的理想化色彩很浓，它要求各级颗粒的用量遵循特定的几何级数，构建了一个理论上的最紧密堆积状态。

• 连续粒度堆积，则认为材料的粒度分布是一个从最大到最小的连续函数，这更贴近工业生产的实际情况。

Andreassen模型：连续分布的里程碑

真正将连续粒度堆积理论发扬光大的是Andreassen。他提出的颗粒分布方程，以其惊人的简洁和实用性，至今仍是耐火材料配方设计的重要参考。其表达式为：

CPFT / 100 = (D / D_L)^q

其中：

• CPFT：小于某一粒径D的颗粒累计百分比
• D：颗粒粒径
• D_L：体系中的最大颗粒粒径
• q：粒度分布系数，一个关键参数

图1 Andreassen粒度分布

Andreassen方程的魅力在于，当它在对数-对数坐标系（log-log图）中绘制时，会呈现为一条直线，其斜率就是分布系数q。这个q值直接决定了体系中粗细颗粒的比例，从而影响材料的流动性、施工性能和烧后致密度。q值越小，细粉含量越高，反之则粗颗粒占主导。这种直观的线性关系，使得工程师可以便捷地进行配方设计和调整。

然而，理论的简洁性在现实中遇到了挑战。Andreassen方程的一个隐含假设是，颗粒的最小尺寸可以趋近于零。这在物理世界中显然是不成立的，任何粉体原料都有其固有的最小粒径。这个理论上的“漏洞”意味着模型在描述超细粉末区域时可能会与实际情况产生偏差。

Dinger-Funk模型：对物理现实的修正与回归

为了解决Andreassen模型中最小粒径的限制问题，Dinger和Funk对其进行了关键修正，提出了一个考虑了物理边界的Dinger-Funk方程。他们引入了最小颗粒粒度Ds的概念，使得模型更加贴近真实的颗粒系统。

其修正后的方程如下：

CPFT / 100 = (D^q - D_s^q) / (D_L^q - D_s^q)

其中新增的 D_s 代表体系中的最小颗粒粒径。

图2 Dinger-Funk和Andreassen粒度分布对比

从数学形式上不难看出，当最小粒径Ds趋近于0时，Dinger-Funk方程就退化为了Andreassen方程。上图清晰地展示了二者的关系：Ds越小，Dinger-Funk曲线就越逼近Andreassen的直线。

这一修正的意义重大。Dinger-Funk方程在对数-对数坐标中呈现为一条曲线，尤其是在细颗粒端，它更真实地反映了由于最小粒径存在而导致的分布变化。这使得它在预测含有大量微粉和超细粉的高性能耐火材料（如低水泥、超低水泥浇注料）的堆积行为时，具有更高的准确性。

理论与实践的桥梁

那么，我们如何在理论的指导与现实的复杂性之间找到平衡？

Andreassen模型因其简单直观，至今仍是配方初步设计和快速调整的利器。而Dinger-Funk模型虽然计算稍显复杂，但其物理意义更完备，为高性能产品的精细化设计和质量控制提供了更可靠的理论依据。从前者入手进行宏观调控，再用后者进行微调优化，是许多资深工程师的常用策略。

无论是采用哪种模型，其核心都离不开对原料粒度分布的精确测量。要准确表征一个从几毫米的骨料到几微米甚至纳米级微粉的宽分布体系，尤其是要捕捉到决定模型准确性的DL和Ds，对检测设备和分析方法提出了极高的要求。这正是专业检测实验室的核心价值所在。

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